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[ID: 68] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 239
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 17:40

1. On utilise la méthode vue en cours. Soit \(Z=X+iY\) une racine carrée de \(z_1\). \(\left(X,Y\right)\) vérifie le système : \[\begin{cases}X^2+Y^2&= 5\\X^2-Y^2&=-3\\XY&>0 \end{cases}.\] Par addition-soustraction des deux premières équations, il vient que \(2X^2=2\) c’est-à-dire \(X=\pm 1\) et \(2Y^2=8\) c’est-à-dire \(Y=\pm 2\). On utilise alors que \(XY>0\) et on trouve que \(\boxed{ Z=1+2i}\) ou \(\boxed{Z=-1-2i}\). Réciproquement, on vérifie que ces deux solutions conviennent.

2. On procède de même et on trouve que les deux racines carrées de \(z_2\) sont \(\boxed{2-3i}\) et \(\boxed{-2+3i}\)

3. On procède encore de la même façon et on trouve que les deux racines de \(z_4\) sont \(\boxed{1-5i}\) et \(\boxed{-1+5i}\).

4. On peut procéder comme avant. Mais on peut aussi utiliser la forme exponentielle de \(-i\) qui est \(-i= e^{i3\pi/2}\) donc \(Z=\rho e^{i\theta}\) est une racine carrée de \(-i\) si et seulement si \[\begin{cases} \rho&=1 \\ 2\theta&={\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 2} ~\left[2\pi\right] \end{cases}\] et alors \(\rho=1\) et \(\theta=3\pi/4 \left[\pi\right]\). Donc \(Z=e^{i3\pi/4}\) ou \(Z=e^{i7\pi/4}\) ce qui donne, sous forme algébrique \(Z=\boxed{{\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}\left(1-i\right)}\) ou \(Z=\boxed{{\scriptstyle\sqrt 2\over\scriptstyle 2}\left(-1+i\right)}\). On vérifie réciproquement que ces deux solutions conviennent.