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Exercice 134
Soit \(P\) le polynôme défini dans \(\mathbb{C}\) par: \[P(z)={z}^{3}-{z}^{2}+(5+7\,i)z+10-2\,i.\]
Montrer que \(P\) possède une racine imaginaire pure.
En déduire une factorisation de \(P\) de la forme \(P(z)=(z-2\,i)Q(z)\) où \(Q\) est un polynôme du second degré à coefficients complexes.
Résoudre alors \(P(z)=0\) et factoriser complètement le polynôme \(P\) sur \(\mathbb{C}\).
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[ID: 66] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 134
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 17:40
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 17:40
Le nombre complexe \(\boxed{2 i}\) est une racine de \(P\).
\(P\) admet alors une factorisation de la forme \(P(z)=(z-2\,i)Q(z)\) avec \(Q\left(z\right)=az^2+bz+c\) un polynôme à coefficients complexes à déterminer. Par identification, on montre que \(Q\left(z\right)= {z}^{2}+(-1+2\,i)z+1+5\,i\).
En appliquant le théorème de résolution des équations du second degré à coefficients complexes, on trouve que les racines de \(Q\) sont \(-1+i\) et \(2-3i\). On a donc : \(\boxed{P=\left(z-2i\right)\left(z+1-i\right)\left(z-2+3i\right)}\).
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