Soit \(P\) le polynôme défini dans \(\mathbb{C}\) par: \[P(z)={z}^{3}-{z}^{2}+(5+7\,i)z+10-2\,i.\]

  1. Montrer que \(P\) possède une racine imaginaire pure.

  2. En déduire une factorisation de \(P\) de la forme \(P(z)=(z-2\,i)Q(z)\)\(Q\) est un polynôme du second degré à coefficients complexes.

  3. Résoudre alors \(P(z)=0\) et factoriser complètement le polynôme \(P\) sur \(\mathbb{C}\).


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[ID: 66] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 134
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:40
  1. Le nombre complexe \(\boxed{2 i}\) est une racine de \(P\).

  2. \(P\) admet alors une factorisation de la forme \(P(z)=(z-2\,i)Q(z)\) avec \(Q\left(z\right)=az^2+bz+c\) un polynôme à coefficients complexes à déterminer. Par identification, on montre que \(Q\left(z\right)= {z}^{2}+(-1+2\,i)z+1+5\,i\).

  3. En appliquant le théorème de résolution des équations du second degré à coefficients complexes, on trouve que les racines de \(Q\) sont \(-1+i\) et \(2-3i\). On a donc : \(\boxed{P=\left(z-2i\right)\left(z+1-i\right)\left(z-2+3i\right)}\).


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