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\(\sum \omega ^{k^2 }\)
Soient \(n\in \mathbb{N}^*\), \(\omega = e^{2i\pi /n}\) et \(Z = \sum_{k=0}^{n-1} \omega ^{k^2 }\). On demande de calculer \(|Z|^2\). Pour cela
Écrire \(|Z|^2\) comme une somme double.
Regrouper les termes diagonalement en tenant compte de la périodicité de la fonction \(k\mapsto \omega ^k\).
Terminer le calcul.
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[ID: 3389] [Date de publication: 11 mars 2024 22:43] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(\sum \omega ^{k^2
}\)
Par Michel Quercia le 11 mars 2024 22:43
Par Michel Quercia le 11 mars 2024 22:43
Pour \(n\) impair, \(|Z|^2 = n\). Pour \(n\) pair, \(|Z|^2 = n(1+(-1)^{n/2})\).
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