Résoudre :

  1. \((z+1)^n = (z-1)^n\).

  2. \((z+1)^n = z^n = 1\).

  3. \(z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0\).

  4. \(1 + 2z + 2z^2 + \dots + 2z^{n-1} + z^n = 0\).

  5. \(\overline z = z^{n-1}\).

  6. \(\left(\dfrac{1+ix}{1-ix}\right)^n = \dfrac{1+i\tan a}{1-i\tan a}\).

  7. \(\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^3 + \left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)^3 = 0\).


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[ID: 3383] [Date de publication: 11 mars 2024 22:43] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Racines de l’unité
Par Michel Quercia le 11 mars 2024 22:43
  1. \(z=-i\mathop{\rm cotan}\nolimits\frac {k\pi }n\).

  2. Si \(6|n\) alors \(z=j\) ou \(j^2\). Sinon il n’y a pas de solution.

  3. \(z = \exp\dfrac{(2k+1)i\pi }5\), \(k = 0,1,3,4\).

  4. \(z = -1\) ou \(z = \exp\dfrac{2ik\pi }n\), \(1\leq k<n\).

  5. \(x = \tan\left(\dfrac{a+2k\pi }n\right)\).

  6. \(z = \pm i,\ \pm i(2\pm \sqrt3)\).


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