Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\). On suppose que : \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f\circ f(x)=\dfrac{x}{2}+3 \quad (\star).\]

  1. Montrer que : \(\forall x\in \mathbb{R} ,\quad f({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3)=\dfrac{f(x)}{2}+3\).

  2. Montrer que la fonction \(f'\) est constante.

  3. Trouver les fonctions \(f\) vérifiant la relation \((1)\).


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[ID: 939] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:48] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 316
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:48
  1. Soit \(x \in \mathbb{R}\). En appliquant \(f\) à \((\star)\), on trouve que \(f( f\circ f(x)) = f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3\right)\) et comme \(f\circ(f\circ f) = (f\circ f) \circ f\), en utilisant l’expression de \(f\circ f\) donnée par \((\star)\), on obtient que \(\dfrac{f(x)}{2}+3 = f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3\right)\).

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). En dérivant l’égalité précédente, on obtient que \[\dfrac{f'(x)}{2} = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}f'\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+3\right) .\] On définit alors une suite \((u_n)\) par \[\begin{cases}u_0&=x\\ \forall n\in \mathbb N, u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{2}+3 \end{cases}.\] Cette suite est arithmético-géométrique donc \[\forall n\in \mathbb N, \quad u_n = 6+\dfrac{1}{2^n}(x-6) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{ } 6\] Comme \(f'\) est continue au point \(6\), on obtient que \(f'(u_n) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{ } f'(6)\) et que finalement \(f'(x)=f'(6)\). Par conséquent, \(f'\) est constante.

  3. Comme \(f'\) est constante, il existe \((a,b)\in \mathbb{R}^{2}\) tels que \[\forall x\in \mathbb{R} , f(x)=ax+b\]

    Cherchons les réels \(a,b\) tels que \(f\) vérifie \((\star)\). Après calculs, on trouve \(a=\dfrac{\sqrt{2}}{{2}} , b=6-3\sqrt 2\) ou alors \(a=-\dfrac{\sqrt{2}}{{2}}, b=6+3\sqrt 2\).


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