1. Trouver toutes les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad f(2x)=2f(x)\]

  2. Si l’on ne suppose pas \(f\) dérivable, construire une fonction différente de celles trouvées vérifiant la propriété.


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[ID: 937] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:48] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 480
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:48
  1. En dérivant, on trouve que \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad 2f'(2x)=2f'(x)\] Donc \(\forall x\in \mathbb{R} , f'(2x)=f'(x)\). Soit \(x\neq 0\). Il s’ensuit par une récurrence facile que \(\forall n\in \mathbb{N}{*}\), \(f'({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2^n})=f'(x)\). Mais \(f'\) est continue en \(0\) donc \(f'({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2^n}) \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{ } f'(0)\). La fonction \(f'\) est donc constante et \(f\) est affine de la forme \(f(x)=ax+b\) avec \(a,b\in\mathbb{R}\). Mais \(f\left(2\times 0\right)=2\times f\left(0\right)\) et nécessairement \(f\left(0\right)=0\) ce qui amène \(b=0\). La fonction \(f\) est donc linéaire. Réciproquement, toute fonction linéaire convient.

  2. La fonction donnée par \[f(x)=\begin{cases} 0 &\textrm{ si } x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\ x & \textrm{ si } x\in \mathbb{Q} \end{cases}\] vérifie la propriété et n’est pas linéaire.


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