Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) telles que pour toute suite arithmétique \((x_n)\), la suite \((f(x_n))\) est une suite arithmétique.


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[ID: 935] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:48] [Catégorie(s): Equations fonctionnelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 44
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:48

Soit \(f\) une fonction vérifiant la propriété. Considérons \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\). Il existe alors \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}\) tels que \[\forall n \in \mathbb N, \quad f(a + bn) = \alpha + \beta n.\] Si on pose \(n = 0\) puis \(n = 1\), on trouve que \[\forall n \in \mathbb N, \quad f(a + bn) = f(a) + \left[f(a + b) - f(a)\right]n\] En particulier si \(n = 2\), on trouve que \[f(a + 2b) = 2f(a+b) - f(a).\] et cette relation doit être vraie pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\). Avec \(a = 0\), on trouve en particulier que \[\forall b \in \mathbb{R} , \quad f(2b) = 2f(b) - f(0).\] Posons \(g : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f(x) - f(0) \end{array} \right.\). Cette fonction doit vérifier \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad g(2x) = 2g(x).\] La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(f\) l’est et en dérivant cette dernière relation, on trouve que \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad g'(2x) = g'(x).\] Comme \(g'\) est continue en \(0\), on montre facilement que \(g'\) est constante. Par conséquent, \(g\) est linéaire, et \(f\) est affine.

On vérifie réciproquement que toute fonction affine convient.


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