Soit une fonction \(f : [0, +\infty[ \longrightarrow [0, +\infty[\) dérivable et concave sur \([0, +\infty[\). Montrez que \[\forall (x, y) \in [0, +\infty[^2,~ f(x+y) \leqslant f(x) + f(y).\]


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[ID: 933] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:45] [Catégorie(s): Convexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 735
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:45

Comme la fonction \(f\) est concave et dérivable, on sait que la fonction \(f'\) est décroissante sur \(I = [0, +\infty[\). Soit \(y \in I\). Considérons la fonction définie sur \(I\) par \(g(x) = f(x+y)-f(x)\). Elle est dérivable sur \(I\) et pour tout \(x \in I\), comme \(x+y\geqslant x\), on a : \(g'(x) = f'(x+y) -f'(x) \leqslant 0\). Donc \(\forall x \in I\), \(g(x) \leqslant g(0) = f(y) - f(0)\). On a alors montré que \(\forall (x, y) \in I^2\), \(f(x+y) \leqslant f(x) + f(y) - f(0)\) et comme par hypothèse, \(f\) est à valeurs positives, \(f(0) \geqslant 0\) et donc \[\forall (x, y) \in I^2,\quad f(x+y) \leqslant f(x) + f(y).\]


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