Montrer qu’une fonction convexe sur un intervalle \(I\) est continue sur l’intérieur de l’intervalle \(I\).


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[ID: 931] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:45] [Catégorie(s): Convexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 353
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:45

Soit \(x \in I\), un point intérieur. Il existe donc deux points \((z_1, z_2) \in I\) tels que \(z_1 < x < z_2\). Soit \(y \in [x, z_2]\). En utilisant le lemme des trois pentes, on trouve que \[\dfrac{f(x)-f(z_1)}{x-z_1} \leqslant \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant\dfrac{f(z_2) - f(x)}{z_2-x}\] Notons pour \(i=1,2\), \(\Delta_i = \dfrac{f(x)-f(z_i)}{x-z_i}\). L’inégalité précédente devient : \[\Delta_1(y-x) \leqslant f(y)-f(x) \leqslant\Delta_2(y-x)\] et d’après le théorème des gendarmes, \(f(y) \xrightarrow[y\rightarrow x^+]{}f(x)\). Par les mêmes arguments, en prenant \(y \in [z_1, x]\), on montre également que \(f(y) \xrightarrow[y\rightarrow x^-]{}f(x)\), et donc que \(f(y) \xrightarrow[y\rightarrow x]{} f(x)\). On a alors montré que \(f\) est continue au point \(x\).


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