Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction convexe majorée. Montrer que \(f\) est constante.


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[ID: 929] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:45] [Catégorie(s): Convexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 350
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:45

Prouvons le résultat par l’absurde. Si \(f\) n’est pas constante, alors il existe deux réels \(x<y\) tels que \(f(x) \neq f(y)\). Étudions deux cas :

  1. Soit \(z > y\), d’après le lemme des trois pentes, on a : \[\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} \leqslant\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x}\] d’où en notant \(\Delta = \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} > 0\), \[f(z) \geqslant(z-x) \Delta + f(x) \xrightarrow[z \rightarrow +\infty]{} +\infty\] ce qui est impossible car \(f\) est majorée sur \([x, +\infty[\).

  2. Supposons cette fois-ci que \(z < x\). D’après le lemme des trois pentes, on a : \[\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x} \leqslant \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\] et en notant \(\Delta = \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} < 0\), il vient : \[f(z) \geqslant f(x) + (z-x)\Delta \xrightarrow[z \rightarrow -\infty]{} +\infty\] ce qui est impossible car \(f\) est majorée sur \(]-\infty, x]\).

Il ne peut alors exister \(x<y\) tels que \(f\left(x\right)\neq f\left(y\right)\). On en déduit que \(f\) est constante.


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