En utilisant la fonction définie par \(f(x) = \ln(\ln x)\), montrer que \[\forall a,b > 1,\quad \ln\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \geqslant\sqrt{\ln a \ln b}.\]


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[ID: 925] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Convexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 489
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:44

La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(I = ]1, +\infty[\) et pour tout \(x > 1\), on calcule \(f''(x) = - \dfrac{1}{x^2 \ln x} - \dfrac{1}{x^2 (\ln x)^2} = - \dfrac{1+\ln x}{x^2\ln^2 x} < 0\). La fonction \(f\) est donc concave et pour \(a, b > 1\) et \(\lambda\in\left[0,1\right]\) : \[\ln \ln \Bigl( \dfrac{\lambda a+\left(1-\lambda\right)b}{2} \Bigr) \geqslant\lambda\ln \ln a + \left(1-\lambda\right)\ln \ln a .\] Donc en prenant \(\lambda = 1/2\), il vient que : \[\ln \ln \Bigl( \dfrac{a+b}{2} \Bigr) \geqslant\dfrac{\ln \ln a + \ln \ln a}{2} = \ln\bigl( (\ln a \ln b)^{1/2} \bigr)\] En prenant l’exponentielle qui est croissante, on en déduit l’inégalité de l’énoncé.


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