On considère une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(I=]0, +\infty[\) et une fonction \(g : I \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par : \[\forall t \in I,~ g(t) = t f(1/t).\] Montrer que \(f\) est convexe si et seulement si \(g\) est convexe.


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[ID: 923] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Convexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 881
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:44
  1. \(\boxed{\Rightarrow}\) La fonction \(g\) est deux fois dérivable sur \(I\) par opérations sur les fonctions deux fois dérivables sur \(I\). Pour tout \(t \in I\) : \[\begin{cases} g'(t) &= f(1/t) - \dfrac{f'(1/t)}{t} \newline g''(t) &= \dfrac{1}{t^3}f''(1/t) \geqslant 0 \end{cases}.\] On en déduit que \(g\) est convexe.

  2. \(\boxed{\Leftarrow}\) Soit \(x \in I\). Posons \(t = 1/x\). On a \(f(x) = xg(1/x)\) et on montre facilement que \(f''(x) = 1/x^3 g''(x) \geqslant 0\) ce qui montre que \(f\) est convexe.

( ).
On peut également montrer ce résultat avec comme hypothèse que \(f\) est uniquement continue (utiliser qu’une fonction continue est convexe si elle vérifie le lemme des trois pentes)

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