Soit \(f~: I\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction à valeurs strictement positives. On suppose que \(\forall \alpha \in\mathbb{R}\), \(f_\alpha~: x\mapsto e^{\alpha x}f(x)\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Démontrer que \(g~: x\mapsto \ln(f(x))\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).


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[ID: 921] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:44] [Catégorie(s): Convexité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 304
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:44
  1. Si on suppose \(f\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), on a \(f_\alpha^\prime(x) = (\alpha f(x)+ f^\prime(x))e^{\alpha x}\) et \(f_\alpha^{\prime\prime}(x) = (\alpha^2 f(x)+ 2\alpha f^\prime(x)+ f^{\prime\prime}(x))e^{\alpha x}\). Par hypothèse, on a \(f_\alpha^{\prime\prime}(x)>0\) ceci pour tout \(\alpha\). On en déduit que le discriminant du trinôme en \(\alpha\) est négatif. Donc \(\left( f^\prime(x)\right)^2 - f^{\prime\prime}(x)f(x)< 0\) et ceci pour tout \(x\) réel.

    Or \(g\) est deux fois dérivable et \(g''(x) = \dfrac{f''(x)f(x)}{f(x)^2}\). On en déduit que \(g\) est convexe.

  2. Si on ne suppose plus \(f\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), la démonstration est plus acrobatique :

    Pour \(x\neq y\) et \(t\in [0,1]\), on pose \(\alpha = \dfrac{\ln(f(x))-\ln(f(x)) }{x-y}\). Par hypothèse, \(f_\alpha\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) donc \[\exp(\alpha(tx+(1-t)y))f(tx+(1-t)y)\leqslant te^{\alpha x}f(x)+(1-t)e^{\alpha y}f(y),\] soit \[\begin{aligned} f(tx+(1-t)y) &\leqslant t\exp(\alpha(x-y)(1-t))f(x)+ (1-t)\exp(-\alpha(x-y)t)f(y) \\ & \leqslant t\exp((\ln f(x)-\ln f(y))(1-t))f(x)+ (1-t)\exp((\ln f(x)-\ln f(y))t)f(y) \\ & \leqslant\left( \dfrac{f(x)}{f(y)}\right)^{t-1} f(x) + (1-t)\left( \dfrac{f(x)}{f(y)}\right)^{t} f(y)\\ & \leqslant f(x)^t f(y)^{1-t} \end{aligned}\] En prenant les logarithmes, on obtient la convexité de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).


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