1. Pour tout \(x\geqslant 0\), déterminer un encadrement de \(\mathop{\mathrm{sh}}\left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{sh}}x\).

  2. En déduire que : \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \mathop{\mathrm{ch}}0 + \mathop{\mathrm{ch}}1+ \dots+\mathop{\mathrm{ch}}n \leqslant \mathop{\mathrm{sh}}\left(n+1\right)\).

  3. On considère la suite \(\left(u_n\right)\) de terme général : \[u_n=\mathop{\mathrm{sh}}\left(n+1\right)-\left(\mathop{\mathrm{ch}} 0 + \mathop{\mathrm{ch}}1+ \dots+\mathop{\mathrm{ch}}n\right).\] Montrer que \(\left(u_n\right)\) est croissante.

  4. On considère aussi la fonction \(f:x\mapsto \mathop{\mathrm{sh}}\left(x+2\right)-\mathop{\mathrm{sh}}\left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{ch}}\left(x+1\right)\).

    1. Prouver que \(f\left(x\right)\) et \(f'\left(x\right)\) sont positives pour tout \(x\geqslant 0\).

    2. Montrer que : \(\forall x\geqslant 0,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(0\right)\).

  5. En déduire que \(\left(u_n\right)\) diverge vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).


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[ID: 917] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:41] [Catégorie(s): Etudes de suites réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 965
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:41
  1. Soit \(x\geqslant 0\). La fonction \(\mathop{\mathrm{sh}}\) est continue sur \(\left[x,x+1\right]\) et dérivable sur \(\left]x,x+1\right[\). D’après l’inégalité des accroissements finis : \(\inf_{\left]x,x+1\right[} \mathop{\mathrm{ch}}\leqslant\mathop{\mathrm{sh}}\left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{sh}}x \leqslant\sup_{\left]x,x+1\right[} \mathop{\mathrm{ch}}\). Mais comme \(\mathop{\mathrm{ch}}\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\), il vient : \(\mathop{\mathrm{ch}}x\leqslant\mathop{\mathrm{sh}} \left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{sh}}x \leqslant\mathop{\mathrm{ch}}\left(x+1\right)\).

  2. On a alors, pour \(n\in\mathbb{N}\) : \[\mathop{\mathrm{sh}}\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^n \left(\mathop{\mathrm{sh}}\left(k+1\right)-\mathop{\mathrm{sh}}k\right) \geqslant\sum_{k=0}^n \mathop{\mathrm{ch}}{k} = \mathop{\mathrm{ch}}0 + \mathop{\mathrm{ch}}1+ \dots+\mathop{\mathrm{ch}}n .\]

  3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On calcule \(u_{n+1}-u_n = \mathop{\mathrm{sh}}\left(n+2\right)-\mathop{\mathrm{sh}}\left(n+1\right)-\mathop{\mathrm{ch}} \left(n+1\right)\). Cette quantité est positive d’après la première question appliquée à \(x=n+1\). Donc \(\left(u_n\right)\) est croissante.

  4. La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

    1. D’après la première question, on a : \(\mathop{\mathrm{ch}}x\leqslant\mathop{\mathrm{sh}} \left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{sh}}x\) donc \(\mathop{\mathrm{ch}}\left(x+1\right)\leqslant\mathop{\mathrm{sh}} \left(x+2\right)-\mathop{\mathrm{sh}}\left(x+1\right)\) et \(f\) est positive. De plus, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) par opérations sur les fonctions dérivables et pour \(x\in\mathbb{R}_+\) : \(f'\left(x\right)=\mathop{\mathrm{ch}} \left(x+2\right)-\mathop{\mathrm{ch}}\left(x+1\right)-\mathop{\mathrm{sh}}\left(x+1\right)\). On montre facilement en appliquant l’inégalité des accroissements finis à \(\mathop{\mathrm{ch}}\) sur le segment \(\left[x+1,x+2\right]\) que cette dernière quantité est positive. Donc \(f'\geqslant 0\) sur \(\mathbb{R}_+\).

    2. Comme \(f'\) est positive sur \(\mathbb{R}_+\), \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\) et \(\forall x\geqslant 0,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(0\right)\).

  5. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a \(u_{n+1}-u_n = f\left(n\right)>f\left(0\right)+u_0\). Donc \(u_n \geqslant nf \left(0\right)\). Comme \(f\left(0\right)>0\), d’après le théorème des gendarmes \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} +\infty}\).


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