On considère l’application \(f\) et la suite \(\left(u_n\right)\) définies par : \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{e^x}{x+2} \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad\begin{cases} u_0\in\left]0,1\right[\\ \forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=f\left(u_n\right) \end{cases}.\]

  1. Montrer que l’intervalle \(\left]0,1\right[\) est stable par \(f\).

  2. En déduire que \(\forall n\in\mathbb{N},\quad {u_n}\in \left]0,1\right[\) (et donc que \(\left(u_n\right)\) est bien définie).

  3. Montrer que \(f\) admet un unique point fixe \(\alpha\) dans l’intervalle \(\left]0,1\right[\).

  4. Prouver que : \(\forall n\in\mathbb{N},\quad \left|u_{n}-\alpha\right| \leqslant \left(\dfrac{2e}{9}\right)^n\).

  5. Conclure.

  6. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^-3\) près.


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[ID: 915] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:41] [Catégorie(s): Etudes de suites réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1024
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:41

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  1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) comme quotient de telles fonctions. De plus, pour tout \(x\in \mathbb{R}_+\), \(f'\left(x\right)=\dfrac{e^x\left(1+x\right)}{\left(2+x\right)^2}\) donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). Comme \(f\left(0\right)=1/2\) et que \(f\left(1\right)=e/3<1\) on en déduit que \(f\left(\left]0,1\right[\right)\subset \left]0,1\right[\) .

  2. Par définition, \(u_0\in\left]0,1\right[\). Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(u_n\in\left]0,1\right[\) . Comme \(\left]0,1\right[\) est stable par \(f\), il vient que \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) \in\left]0,1\right[\). On prouve ainsi la propriété par récurrence. On a de plus clairement pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\neq -2\) donc \(\left(u_n\right)\) est bien définie.

  3. Introduisons la fonction \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,1\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & e^x-x\left(x+2\right) \end{array} \right. .\] Par opérations sur les fonctions continues, \(\theta\) est continue sur \(\left[0,1\right]\). De plus, \(f\left(0\right)=1>0\) et \(f\left(1\right)=e-3<0\) donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(\theta\) admet un zéro sur \(\left]0,1\right[\). On montre facilement que pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(\theta'\left(x\right)=e^x-2-2x\) et \(\theta''\left(x\right)=e^x-2\). Donc sur \(\left[0,1\right]\), \(\theta''\) est strictement négative et \(\theta'\) est strictement décroissante. Comme \(\theta'\left(0\right)=-1\), sur \(\left[0,1\right]\), \(\theta'\) est strictement négative et \(\theta\) est strictement décroissante. On peut alors affirmer que le zéro de \(f\) sur \(\left]0,1\right[\) est unique. On le note \(\alpha\).

  4. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). La fonction \(f\) est continue sur \(\left[u_{n-1},\alpha\right]\) et dérivable sur \(\left]u_{n-1},\alpha\right[\). D’après l’inégalité des accroissements finis : \[\begin{aligned} \left|u_{n}-\alpha\right| &\leqslant& \sup_{x\in\left]0,1\right[}\left|f'\left(x\right)\right| \left|u_{n-1}-\alpha\right|\\ &\leqslant& \dfrac{2e}{9} \left|u_{n-1}-\alpha\right| . \end{aligned}\] car \(f'\) est strictement croissante sur \(\left[0,1\right]\). Par une récurrence facile, on en déduit que \[\left|u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left(\dfrac{2e}{9}\right)^n\left|u_0-\alpha\right|.\] Mais comme \(u_0,\alpha\in\left]0,1\right[\), on a : \(\left|u_0-\alpha\right|\leqslant 1\) et on obtient l’inégalité proposée.

  5. On déduit facilement de cette dernière inégalité et du théorème des gendarmes que \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha}\).

  6. On utilise l’inégalité précédente. On cherche pour quels valeurs de \(n\), \((2e/9)^n\leqslant 10^{-3}\). On passe au logarithme et on trouve \(n\geqslant \dfrac{3\ln 10}{2\ln 3 - \ln 2-1} \simeq 13,7\). Donc il suffit de calculer \(u_{14}\) pour connaître \(\alpha\) à la précision requise. On trouve \(\alpha\simeq 0.789\) à \(10^{-3}\) près. Ceci est valable quelque soit la valeur prise au départ pour \(u_0\)!


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