On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \[\begin{cases} u_0 \in\left[0,4/3\right] \\ \forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(4-u_n^2\right) \end{cases}.\]

  1. Montrer que : \(\forall n\geqslant 0,\quad u_n\in \left[0,4/3\right]\).

  2. Si \(\left(u_n\right)\) était convergente, quel serait sa limite \(l\)?

  3. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*, \left|u_{n+1}-l\right| \leqslant {\scriptstyle 8\over\scriptstyle 9}\left|u_n-l\right|\) et conclure.


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[ID: 913] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:41] [Catégorie(s): Etudes de suites réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 233
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:41

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Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{3}\left(4-x^2\right) \end{array} \right.\). On montre facilement que \(f\) est strictement décroissante sur \(\left[0,4/3\right]\), que \(f\left(0\right)=4/3\) et que \(f\left(4/3\right)=20/27>0\). L’intervalle \(\left[0,4/3\right]\) est donc stable par \(f\). Remarquons aussi que \(f\) admet \(1\) comme unique point fixe sur cet intervalle. .

  1. Montrons la propriété par récurrence. Par définition \(u_0 \in \left[0,4/3\right]\). Soit \(n\in\mathbb{N}\). Supposons que \(u_n\in \left[0,4/3\right]\). Alors comme \(\left[0,4/3\right]\) est stable par \(f\), il s’ensuit que \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\in \left[0,4/3\right]\). La propriété est alors prouvée par récurrence.

  2. Si \(\left(u_n\right)\) était convergente, comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), on aurait \(f\left(\lim u_n\right)=\lim f\left(u_n\right)\) ce qui amènerait \(l=f\left(l\right)\). La limite de \(\left(u_n\right)\) serait donc un point fixe de \(f\) dans l’intervalle \(\left[0,4/3\right]\). On en déduit que \(l\) serait égal à \(1\).

  3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). La fonction \(f\) est continue sur \(\left[u_n,1 \right]\) et dérivable sur \(\left]u_n,1\right[\). Donc d’après le théorème des accroissements finis : \[\begin{aligned} \left|u_{n+1}-1\right| &\leqslant& \sup_{\left]u_n,1\right[}\left|f'\left(x\right)\right|\left|u_n-1\right|\\ &\leqslant& \sup_{\left]0,4/3\right[}\left|f'\left(x\right)\right|\left|u_n-1\right|\\ &\leqslant& {\scriptstyle 8\over\scriptstyle 9}\left|u_n-1\right|\end{aligned}\] car pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)=-2/3x\). Par une récurrence facile, on en déduit que : \[\left|u_{n+1}-1\right| \leqslant \left({\scriptstyle 8\over\scriptstyle 9}\right)^{n+1}\left|u_0-1\right|\] et donc d’après le théorème des gendarmes, il vient que \(\left|u_{n+1}-1\right| \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). En conclusion : \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1}\).


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