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Exercice 233
On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \[\begin{cases} u_0 \in\left[0,4/3\right] \\ \forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(4-u_n^2\right) \end{cases}.\]
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[ID: 913] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:41] [Catégorie(s): Etudes de suites réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 233
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:41
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:41
Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{3}\left(4-x^2\right) \end{array} \right.\). On montre facilement que \(f\) est strictement décroissante sur \(\left[0,4/3\right]\), que \(f\left(0\right)=4/3\) et que \(f\left(4/3\right)=20/27>0\). L’intervalle \(\left[0,4/3\right]\) est donc stable par \(f\). Remarquons aussi que \(f\) admet \(1\) comme unique point fixe sur cet intervalle. .
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