On considère l’équation différentielle : \[(E) : \quad(1-x^2)y' + xy +(x^2-1)=0\]

  1. Déterminer toutes les solutions de \((E)\) sur \(]-1,1[\).

  2. Existe-t-il une solution sur \(I=]-1,1]\) ? (On admettra que \(\pi/2-\operatorname{arcsin} x \underset{x\rightarrow 1^-}{\sim} \sqrt{2(1-x)}\) ).


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[ID: 911] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:40] [Catégorie(s): Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 947
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:40

La quantité \((x^2-1)\) ne s’annule pas sur \(I_1=]-1,1[\). Résolvons l’équation d’abord sur \(I_1\). La solution générale de l’équation homogène est \[y_0(x)= C\sqrt{1-x^2 } \textrm{ où } C\in\mathbb{R}.\] En utilisant la méthode de variation de la constante, on cherche une solution particulière de la forme \(\tild{y}(x)= C(x)\sqrt{1-x^2 }\). Il suffit que \(C'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{ 1-x^2 } }\) et donc par exemple \(C(x)=\operatorname{arcsin} (x)\). La solution générale s’écrit donc \[y(x)= (\operatorname{arcsin} x + C) \sqrt{1-x^2}.\] Soit maintenant \(y\) une solution sur \(I\). Pour que l’équation soit vérifiée en \(1\), il faut que \(y(1)=0\). Comme \(\forall x<1\), \(y(x)=(\operatorname{arcsin} x + C)\sqrt{1-x^2}\), cette fonction se prolonge par continuité en \(1\) avec \(y(1)=0\). Étudions la dérivabilité en \(1\) de la fonction ainsi prolongée. Puisque \(y\) vérifie l’équation différentielle, on en tire que \(\forall x < 1\), \[y'(x)= 1 - x \dfrac{ \operatorname{arcsin} x + C }{ \sqrt{1-x^2} }\] Pour que \(y'\) ait une limite finie en \(1\), il faut que \(C=-\operatorname{arcsin} 1 = -\dfrac{\pi}{2}\). En effet, si \(C\neq -\dfrac{\pi}{2}\), alors \(y'(x)\xrightarrow[x \rightarrow 1^-]{}\infty\) et d’après la proposition page , \(y\) ne serait pas dérivable en \(1\) ?

Si \(C=-\dfrac{\pi}{2}\), alors \[y'(x)= 1 - x \dfrac{ \operatorname{arcsin} x - \pi/2 }{ \sqrt{1-x^2} }\xrightarrow[x \rightarrow 1]{}2 \textrm{ car } \dfrac{ \operatorname{arcsin} x - \pi/2 }{ \sqrt{1-x^2} }\underset{x\rightarrow 1^-}{\sim} -\dfrac{\sqrt{2\left(1-x\right)}}{\sqrt{1-x^2}}= -\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt{x+1}}\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{} -1\] et donc d’après le théorème , \(y\) est dérivable en \(1\) avec \(y'(1)=2\). Réciproquement, on vérifie que la fonction

\[\boxed{ x\mapsto \left( \operatorname{arcsin} x -\dfrac{\pi}{2}\right)\sqrt{1-x^2} }\] est solution de \(\left(E\right)\) sur \(]-1,1]\). C’est la seule solution de cette équation sur \(]-1,1]\).


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