Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur le segment \([a, b]\) avec \(a<b\). Montrez qu’il existe un réel \(c \in ]a, b[\) tel que \[\dfrac{f(a) + f(b)}{2} = f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) + \dfrac{(b-a)^2}{8}f''(c).\]


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[ID: 909] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 545
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:37

Définissons la fonction auxiliaire suivante : \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} [a, b] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \dfrac{f(t)+f(a)}{2} - f\left(\dfrac{a+t}{2}\right) - \dfrac{(t-a)^2}{8}K \end{array} \right.\]\(K\) est une constante choisie telle que \(\varphi(b) = 0\) (c’est possible car \(a < b\)). Puisque la fonction \(\varphi\) est continue sur \([a, b]\), dérivable sur \(]a, b[\), et que \(\varphi(a) = \varphi(b) = 0\), d’après le théorème de Rolle, il existe \(c_1 \in ]a, b[\) tel que \(\varphi'(c_1) = 0\). On a donc \[\dfrac{f'(c_1)}{2} - \dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{a+c_1}{2} \right) = K\dfrac{c_1 - a}{4}.\] Appliquons ensuite le théorème des accroissements finis entre les points \(\dfrac{a+c_1}{2}\) et \(c_1\). Comme la fonction \(f'\) est continue sur \([(a+c_1)/2, c_1]\) et dérivable sur \(](a+c_1)/2, c_1[\), il existe un réel \(c \in ](a+c_1)/2, c_1[\) tel que \[f'(c_1) - f'\left(\dfrac{a+c_1}{2}\right) = \left(c_1 - \dfrac{a+c_1}{2}\right)f''(c).\] On trouve donc que \[\dfrac{c_1 - a}{4} f''(c) = \dfrac{K(c_1-a)}{4}\] et donc que \(K = f''(c)\). Puisque la constante \(K\) a été choisie pour que \(\varphi(b) = 0\), on trouve donc que \[0 = \varphi(b) = \dfrac{f(b)+f(a)}{2} - f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) - \dfrac{(b-a)^2}{8}f''(c).\]


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