Soit un réel \(a\in\mathbb{R}\) et une fonction \(f : [a, +\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) dérivable sur \([a, +\infty[\) telle que \(f'(t) \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} 0\).

  1. Montrez que \(\dfrac{f(t)}{t} \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} 0\).

  2. En déduire ensuite que si \(f'(t) \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} l \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{f(t)}{t} \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} l\).


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[ID: 907] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 687
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:37
  1. Soit \(\varepsilon> 0\). Comme \(f'(t) \xrightarrow[t \rightarrow +\infty]{} 0\), il existe \(A_1 > 0\) tel que \(\forall x \geqslant A_1\), \(\left| f'(x)\right| \leqslant\varepsilon\). Soit alors \(x \geqslant A_1\). En utilisant le théorème des accroissements finis entre \(A_1\) et \(x\), on peut affirmer qu’il existe \(c_x \in ]A_1, x[\) tel que \(f(x) = f(A_1) + f'(c_x)(x-A_1)\). Alors \[\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{f(A_1)}{x} + f'(c_x)\left(1 - \dfrac{A_1}{x}\right)\]

    Comme \(\dfrac{f\left(A_1\right)}{x} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 0\), il existe \(A_2 > 0\) tel que \(\forall x \geqslant A_2\), \(\left|\dfrac{f\left(A_1\right)}{x}\right| \leqslant\varepsilon\).

    Comme \(1-\dfrac{A_1}{x} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 1\), il existe \(A_3 > 0\) tel que \(\forall x \geqslant A_3\), \(\left|1-\dfrac{A_1}{x}\right| \leqslant 1\).

    Posons \(A = \max(A_1, A_2, A_3)\).

    Si \(x \geqslant A\), on obtient l’encadrement suivant : \[\left|\dfrac{f(x)}{x}\right| \leqslant\left|\dfrac{f(A_1)}{x}\right| + \left|f'(c_x)\right|\left|1 - \dfrac{A_1}{x}\right|\leqslant\varepsilon+\varepsilon\times 1 \leqslant 2\varepsilon\]

    Il suffit alors de reprendre la démonstration avec au départ \(\widetilde{\varepsilon} = \dfrac{\varepsilon}{2}\) pour avoir \(\left|f\left(x\right)/x\right|\leqslant\varepsilon\) si \(x\geqslant A\). On prouve ainsi que \(f\left(x\right)/x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\).

  2. Définissons une fonction \(g\) par \(g(x) = f(x) - lx\). Elle est dérivable sur \([a, +\infty[\) et \(\forall x \geqslant 0\), \(g'(x) = f'(x) - l \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 0\). Donc d’après la première partie, \(\dfrac{g(x)}{x} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 0\). On trouve alors que \(\dfrac{f(x)}{x} - l \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 0\) ce qui prouve que \(\dfrac{f(x)}{x} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\).


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