Soit une fonction \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) dérivable. Montrer que si \(f'(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\) alors \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} + \infty\). La réciproque est-elle vraie ?


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[ID: 905] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 929
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:37

Puisque \(f'(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}+\infty\), il existe \(A>0\) tel que \(\forall x\geqslant A\), \(f'(x)\geqslant 1\). Soit alors \(x\geqslant A\). D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in ]A,x[\) tel que \(f(x)-f(A)=f'(c)(x-A)\). Par conséquent, \(f(x)\geqslant f(A)+x-A\) et d’après le théorème des gendarmes, \(f(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty ]{} +\infty\).

La réciproque est bien entendu fausse, comme on le voit sur la fonction définie par \(f(x)=x\).


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