Soit une fonction \(f : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) continue, ne s’annulant pas sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\). Montrez qu’il existe \(c\in ]a, b[\) tel que \[\dfrac{f(a)}{f(b)} = e^{(a-b) {\scriptstyle f'(c)\over\scriptstyle f(c)}}\]


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[ID: 903] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 300
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:37

Introduisons la fonction \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[a,b\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \ln\left|f\left(x\right)\right| \end{array} \right.\). Comme \(f\) ne s’annule pas sur \(\left[a,b\right]\), \(\theta\) est bien définie et continue sur \(\left[a,b\right]\). Par opérations sur les fonctions dérivables, \(\theta\) est dérivable sur \(\left]a,b\right[\). On applique le théorème des accroissements finis : il existe \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \(\theta\left(b\right)-\theta\left(a\right)=\theta '\left(c\right)\left(b-a\right)\) ce qui amène \(\ln\left|f\left(a\right)\right|- \ln\left|f\left(b\right)\right|=\left(a-b\right)f'\left(c\right)/f\left(c\right)\). On obtient la formule proposée en passant à l’exponentielle : \(\dfrac{f\left(a\right)}{f\left(b\right)}=e^{\left(a-b\right)f'\left(c\right)/f\left(c\right)}\) (on peut supprimer les valeurs absolues car \(f\left(a\right)\) et \(f\left(b\right)\) sont de même signe.


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