Soit une fonction \(f:]0,1[\longrightarrow \mathbb{R}\). On suppose qu’il existe \(k>0\) et \(\alpha >1\) tels que \(\forall (x,y)\in ]0,1[^2\), \[\lvert f(x)-f(y) \rvert \leqslant k\lvert x-y \rvert ^{\alpha }.\] Montrer que la fonction \(f\) est constante.


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[ID: 901] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 214
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:37

Soient \(x\in \left]0,1\right[\). Pour \(y\in\left]0,1\right[\) tel que \(y\neq x\). On a \(\lvert \dfrac{f(y)-f(x)}{y-x} \rvert \leqslant k\left| y-x \right|^{\alpha-1}\) et comme \(\alpha-1>0\), \(\theta(y) = \lvert y-x \rvert ^{\alpha-1} \xrightarrow[y \rightarrow x]{} 0\). D’après le théorème de majoration, on en déduit que le taux d’accroissement possède une limite nulle lorsque \(y \rightarrow x\). On a donc montré que la fonction \(f\) est dérivable et de dérivée non nulle en tout point \(x\in \left]0,1\right[\). La fonction \(f\) est donc constante sur l’intervalle \(]0, 1[\).


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