Soient \(a,b\) des réels positifs tels que \(a<b\).

  1. Montrer que \[\dfrac{b-a}{1+b^2} < \operatorname{arctan} b - \operatorname{arctan} a < \dfrac{b-a}{1+a^2}\]

  2. En déduire \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+ {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 25} < \operatorname{arctan} {\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3} < {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4}+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}\)

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[ID: 897] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

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Exercice 738
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:37

  1. Le résultat de la première question découle directement de l’inégalité des accroissements finis appliquée \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} [a,b] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \operatorname{arctan} x \end{array} \right.\).

  2. On applique l’inégalité précédente à \(a=1\) et \(b={\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3}\) et le résultat s’ensuit directement.

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