1. Montrer que pour tout \(x\in[0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\), \(0 \leqslant\sin x \leqslant x\).

  2. En déduire que pour tout \(x\in[0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\), \(-x^2 \leqslant\cos x -1 \leqslant 0\).


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[ID: 895] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 280
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:37

Si \(x=0\) les inégalités sont trivialement vraies. Supposons que \(x\in\left]0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\).

  1. On applique l’inégalité des accroissements finis à \(\sin\) sur le segment \(\left[0,x\right]\) et on obtient le résultat.

  2. On applique à nouveau l’inégalité des accroissements finis sur le segment \(\left[0,x\right]\) mais cette fois ci à la fonction cosinus. On obtient : \(x.\inf_{t\in\left[0,x\right]} \left(-\sin t\right)\leqslant\cos x -1 \leqslant x.\sup_{t\in\left[0,x\right] } \left(-\sin t\right)\) ou encore , d’après la question précédente : \(-x^2 \leqslant\cos x -1 \leqslant 0\).


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