Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), on a: \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1} \leqslant\ln \left(n+1\right) - \ln \left(n\right) \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\]


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[ID: 893] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:37] [Catégorie(s): Théorème des accroissements finis ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 403
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:37

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Considérons l’application \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} [n,n+1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \ln x \end{array} \right.\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(\left[n,n+1\right]\) donc d’après l’inégalité des accroissements finis : \[m\left(\left(n+1\right)-n\right)\leqslant\ln\left(n+1\right)-\ln n \leqslant M \left(\left(n+1\right)-n\right)\]\(m=\inf_{\left[n,n+1\right]} f'\) et où \(M=\sup_{\left[n,n+1\right]} f'\). Comme pour tout \(t\in\mathbb{R}_+^*\), \(f'\left(t\right)=1/t\), \(f'\) est décroissante, et \(m=\dfrac{1}{n+1}\), \(M=\dfrac{1}{n}\). On en déduit alors les inégalités.


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