Soit \(f \in \mathcal{C}^{5}([a, b])\). Montrer qu’il existe \(c \in ]a, b[\) tel que \[f(b) = f(a) + \dfrac{b-a}{2}\bigl(f'(a) + f'(b)\bigr) - \dfrac{(b-a)^2}{12}\bigl(f''(b) - f''(a)\bigr) + \dfrac{(b-a)^5}{720} f^{(5)}(c)\]


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[ID: 891] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:33] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 889
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:33

On utilise la fonction auxiliaire \[\varphi(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{x-a}{2}\bigl(f'(x) + f'(a)\bigr) + \dfrac{(x-a)^2}{12}\bigl(f''(x) - f''(a)\bigr) - \dfrac{(x-a)^5}{720} K\]\(K\) est une constante choisie en sorte que \(\varphi\left(b\right)=0\) et l’application successive du théorème de Rolle permet de conclure comme dans l’exercice précédent.


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