Soit \(f \in \mathcal{C}^{3}([a, b])\). Montrer qu’il existe \(c \in ]a, b[\) tel que : \[f(b) - f(a) = \dfrac{b-a}{2}\Bigl[f'(a) + f'(b)\bigr] - \dfrac{(b-a)^3}{12}f^{(3)}(c).\]


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[ID: 889] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 383
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:33

Considérons la fonction auxiliaire \[\varphi(t) = f(t) - f(a) - \dfrac{t-a}{2}\Bigl[f'(a) + f'(t)\Bigr] + \dfrac{(t-a)^3}{12}K\] définie pour tout \(t\in\left[a,b\right]\)\(K\) est une constante choisie en sorte que \(\varphi\left(b\right)=0\). La fonction \(\varphi\) s’annule aussi en \(a\), est dérivable sur \(\left[a,b\right]\) par opération sur les fonctions dérivables. On applique alors le théorème de Rolle. Il existe \(c'\in\left]a,b\right[\) tel que \(\varphi'\left(c'\right)=0\). Par ailleurs, pour tout \(t\in\left[a,b\right]\), on a : \[\varphi'\left(t\right)=\dfrac{1}{2}\left(f'\left(t\right)-f'\left(a\right)\right)-\dfrac{t-a}{2}f''\left(t\right)+\dfrac{\left(t- a\right)^2 } {4 }K.\] On remarque sur \(\varphi'\) s’annule aussi en \(a\) et qu’elle est dérivable sur \(\left[a,c'\right]\). On applique alors une nouvelle fois le théorème de Rolle. Il existe \(c\in\left]a,c'\right[\) tel que \(\varphi''\left(c\right)=0\). Mais pour tout \(t\in\left[a,b\right]\), \[\varphi''\left(t\right)=\dfrac{t-a}{2}\left(K-f^{\left(3\right)}\left(t\right)\right).\] Comme \(\varphi''\left(c\right)=0\), il vient que \(K=f^{\left(3\right)}\left(c\right)\) et l’égalité est prouvée.


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