Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{3}\) sur le segment \([a, b]\). On suppose qu’il existe trois points \(a < a_1 < a_2 < a_3 < b\) tels que \(f(a_1) = f(a_2) = f(a_3) = 0\). Soit un réel \(x \in [a, b]\). Montrez qu’il existe un réel \(c \in ]a, b[\) tel que \[f(x) = \dfrac{(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)}{6}f^{(3)}(c).\]


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[ID: 887] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 682
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:32

Définissons la fonction auxiliaire \(\varphi\) suivante : \[\varphi:\left\{ \begin{array}{ccl} [a, b] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & f(t) - \dfrac{(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)}{6}K \end{array} \right.\]\(K\) est une constante choisie telle que \(\varphi(x) = 0\). La fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^{3}\) sur le segment \([a, b]\) comme somme de la fonction \(f\) et d’une fonction polynomiale. Comme \(\varphi(a_1)=\varphi(a_2)=\varphi(a_3)=\varphi(x)=0\), en appliquant le théorème de Rolle trois fois, on montre qu’il existe trois réels \(b_1, b_2, b_3 \in ]a, b[\) tels que \(\varphi'(b_1) = \varphi'(b_2)= \varphi'(b_3)=0\). En appliquant ensuite le théorème de Rolle à la fonction \(\varphi'\) deux fois, on montre l’existence de deux réels \(c_1, c_2 \in ]a, b[\) tels que \(\varphi''(c_1)= \varphi''(c_2)=0\) et en réappliquant le théorème de Rolle entre les points \(c_1\) et \(c_2\), on montre l’existence d’un réel \(c \in ]a, b[\) tel que \(\varphi^{(3)}(c)=0\). Mais on calcule pour \(t \in [a, b]\), \[\varphi^{(3)}(t) = f^{(3)}(t) - K\] et donc \(K = f^{(3)}(c)\). Comme la constante \(K\) a été choisie pour que \(\varphi(x)=0\), en écrivant cette condition et en remplaçant \(K\) par \(f^{(3)}(c)\), on obtient l’égalité de l’énoncé.


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