Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \([a,b]\). On suppose que \(f(a)=f'(a)=f(b)=f'(b)=0\).

Montrer qu’il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f''(c)=f(c)\).


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[ID: 885] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 185
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:32

Considérons la fonction \(g\) donnée pour tout \(x\in\left[a,b\right]\) par \(g(x)=e^x[f'(x)-f(x)]\). Par opération sur les fonctions dérivables, \(g\) est dérivable sur \(\left[a,b\right]\) et pour tout \(x\in\left[a,b\right]\) on a \(g'(x)=e^x[f''(x)-f(x)]\). On vérifie que \(g\left(a\right)=g\left(b\right)=0\) Par application du théorème de Rolle, il existe \(c\in \left[a,b\right]\) tel que \(g'\left(c\right)=0\). Comme la fonction exponentielle ne s’annule jamais, il s’ensuit que \(f''\left(c\right)-f\left(c\right)=0\).


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