Soit \(I\) un intervalle et \(f:I\mapsto \mathbb{R}\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\). Soit \((a,b,c)\in I^3\) trois points de \(I\) avec \(a<b<c\). Montrer qu’il existe \(d\in I\) tel que \[\dfrac{f(a)}{(a-b)(a-c)} + \dfrac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\dfrac{f''(d)}{2}\]


Barre utilisateur

[ID: 883] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 964
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:32

Considérons la fonction \(\varphi:I\mapsto \mathbb{R}\) définie par \[\varphi(x)=(x-b)f(a)+(a-x)f(b)+(b-a)f(x)-\dfrac{(a-b)(b-x)(x-a)}{2}K\]\(K\) est une constante choisie de telle sorte que \(\varphi(c)=0\). Comme \(\varphi\) est deux fois dérivable sur \(I\), \(\varphi\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\) et \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\). Par conséquent, d’après le théorème de Rolle, il existe \(d_1\in]a,b[\) tel que \(\varphi'(d_1)=0\). De même, comme \(\varphi(b)=\varphi(c)=0\), il existe \(d_2\in]b,c[\) tel que \(\varphi'(d_2)=0\). Mais pour tout \(x\in I\), on calcule \[\varphi'(x)=f(a)-f(b)+(b-a)f'(x)+(a-b)Kx -\dfrac{(a-b)(a+b)}{2}K\] et comme \(\varphi'\) est continue sur \([d_1,d_2]\), dérivable sur \(]d_1,d_2[\) et \(\varphi'(d_1)=\varphi'(d_2)=0\), d’après le théorème de Rolle, il existe \(d\in ]d_1,d_2[\) tel que \(\varphi''(d)=0\). Mais \(\forall x\in I\), \[\varphi''(x)=(b-a)f''(x)+ (a-b)K\] et par conséquent, \(K=f''(d)\). Comme \(\varphi(c)=0\), en reportant cette valeur pour \(K\), on trouve que \[(c-b)f(a)+(a-c)f(b)+(b-a)f(c)=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}f''(d)\] et en divisant cette égalité par \((a-b)(b-c)(c-a)\), on trouve le résultat.


Documents à télécharger