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[ID: 881] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Règle de l’Hospital
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:32

1. Introduisons la fonction \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[a,b\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\left(x\right)\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right) - g\left(x\right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right) \end{array} \right. .\] On montre que \(\theta\) est continue sur \(\left[a,b\right]\) et dérivable sur \(\left]a,b\right[\) en utilisant les théorèmes d’opérations. On vérifie par un calcul simple que \(\theta\left(a\right)=\theta\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-f\left(b\right)g\left(a\right)\). On peut alors appliquer le théorème de Rolle : il existe \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \(\theta'\left(c\right)=f'\left(c\right)\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)-g'\left(c\right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)=0\) d’où le résultat.

2. Pour tout \(x\in V\setminus\left\{x_0\right\}\), \(f\) et \(g\) sont continues sur \(\left[x,x_0\right]\) et dérivables sur \(\left[x,x_0\right[\). D’après le résultat de la première question appliqué au segment \(\left[x,x_0\right]\), il existe \(c_x\in\left]x,x_0\right[\) tel que \[\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)} =\dfrac{f'\left(c_x\right)}{g'\left(c_x\right)} .\] Notons que ce dernier quotient est défini, d’après l’hypothèse \(5\) si on prend \(x\) suffisamment proche de \(x_0\). Mais \(c_x\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{}x_0\) et \({\scriptstyle f'(c_x)\over\scriptstyle g'(c_x)}\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{}l\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle g(x)}}=l\).

3. On vérifie que les fonctions \(f\) et \(g\) suivantes vérifient les hypothèses de la règle de l’Hospital sur un voisinage adéquat \(V\) de \(0\) puis on applique cette règle.

   1. On pose \(f:x\mapsto 1-\cos x\) et \(g:x\mapsto x^2\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\mathbb{R}\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=\sin x\), \(g'\left(x\right)=2x\) et pour \(x\neq 0\), \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{\sin x}{2x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{1}{2}\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}}=\dfrac{1}{2}}\).

   2. On pose \(f:x\mapsto x-\sin x\) et \(g:x\mapsto x^3\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\mathbb{R}\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=1-\cos x\), \(g'\left(x\right)=3x^2\) et pour \(x\neq 0\), \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}}{3x^2}=\dfrac{1}{6}\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}}=\dfrac{1}{6}}\).

   3. On pose \(f:x\mapsto \ln\left(1+x\right)-x\) et \(g:x\mapsto x^2\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\left]-1,+\infty\right[\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=-\dfrac{x}{1+x}\), \(g'\left(x\right)=2x\) et \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=-\dfrac{x}{2\left(1+x\right)x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}-\dfrac{1}{2}\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)-x}{x^2}}=-\dfrac{1}{2}}\).

   4. On pose \(f:x\mapsto 1-\cos x\) et \(g:x\mapsto \tan x\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\mathbb{R}\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=\sin x\), \(g'\left(x\right)=1+\tan^2 x\) et \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{\sin x}{1+\tan^2 x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\cos x\right)\mathop{\mathrm{cotan}}x}=0}\).

4. Une généralisation de la proposition page  :

   1. On suppose que \(f\) est définie sur un voisinage \(V\) de \(x_0=0\). Introduisons les fonctions : \[f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right) \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^2 \end{array} \right. .\] Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(V\), ces deux fonctions vérifient les quatre premières hypothèses de la règle de l’Hospital. De plus, si \(x\in V\setminus\left\{x_0\right\}\) alors \[\dfrac{f_1'\left(x\right)}{f'_2\left(x\right)}=\dfrac{1}{2}\dfrac{f'\left(x\right)-f'\left(0\right)}{x}\xrightarrow[x \rightarrow 0]{}\dfrac{f''\left(0\right)}{2}\] car on reconnaît le taux d’acroissement de \(f'\) en \(0\). On en déduit, d’après la règle de l’Hospital, que \[\dfrac{f_1\left(x\right)}{f_2\left(x\right)}=\dfrac{f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right)}{x ^2} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\dfrac{f''\left(0\right)}{2}\] et comme \(f''\left(0\right)\neq 0\) alors \(f\left(x\right) -\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{f''\left(0\right)}{2}x^2\).

   2. On généralise ce résultat en considérant les fonctions : \[f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)+\dfrac{x^2}{2}f''\left(0\right) +\dots+\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}f^{\left(n-1\right)}\left(0\right) \right) \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right.\] et en effectuant un travail identique. On montre alors que : \[\boxed{f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)+\dfrac{x^2}{2}f''\left(0\right) +\dots+\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}f^{\left(n-1\right)}\left(0\right)\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}x^n.}\]