1. Soient \(a,b\) deux réels distincts et soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(\left[a,b\right]\) et dérivables sur \(\left]a,b\right[\). Montrer qu’il existe \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \[f'\left(c\right)\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)=g'\left(c\right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)\]

  2. En déduire la règle de l’Hospital: soient \(\alpha>0\), \(x_0\in\mathbb{R}\), \(V=\left]x_0-\alpha,x_0+\alpha\right[\) et \(f,g:V\rightarrow \mathbb{R}\) tels que :

    1. les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur \(V\).

    2. les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables sur \(V\setminus\left\{x_0\right\}\).

    3. \(f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)=0\).

    4. la fonction \(g\) ne s’annule pas sur \(V\setminus\left\{x_0\right\}\).

    5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f'(x)\over\scriptstyle g'(x)}}=l\in\mathbb{R}\).

    Alors \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle g(x)}}=l\)

  3. En déduire les limites suivantes

    1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\).

    2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}}\).

    3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)-x}{x^2}}\).

    4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\cos x\right)\mathop{\mathrm{cotan}}x}\).

  4. Une généralisation de la proposition page  :

    1. Déduire de la règle de l’Hospital que si \(f\) est une application de classe \(\mathcal{C}^{2}\) dans un voisinage de \(0\) tel que \(f''\left(0\right)\neq 0\) alors \[f\left(x\right) -\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{f''\left(0\right)}{2}x^2\]

    2. Généraliser ce résultat à une application de \(f\) classe \(\mathcal{C}^{n}\) dans un voisinage de \(0\) telle que \(f^{\left(n\right)}\left(0\right)\neq 0\).


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[ID: 881] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Règle de l’Hospital
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:32
  1. Introduisons la fonction \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[a,b\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\left(x\right)\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right) - g\left(x\right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right) \end{array} \right. .\] On montre que \(\theta\) est continue sur \(\left[a,b\right]\) et dérivable sur \(\left]a,b\right[\) en utilisant les théorèmes d’opérations. On vérifie par un calcul simple que \(\theta\left(a\right)=\theta\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-f\left(b\right)g\left(a\right)\). On peut alors appliquer le théorème de Rolle : il existe \(c\in\left]a,b\right[\) tel que \(\theta'\left(c\right)=f'\left(c\right)\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)-g'\left(c\right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)=0\) d’où le résultat.

  2. Pour tout \(x\in V\setminus\left\{x_0\right\}\), \(f\) et \(g\) sont continues sur \(\left[x,x_0\right]\) et dérivables sur \(\left[x,x_0\right[\). D’après le résultat de la première question appliqué au segment \(\left[x,x_0\right]\), il existe \(c_x\in\left]x,x_0\right[\) tel que \[\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)} =\dfrac{f'\left(c_x\right)}{g'\left(c_x\right)} .\] Notons que ce dernier quotient est défini, d’après l’hypothèse \(5\) si on prend \(x\) suffisamment proche de \(x_0\). Mais \(c_x\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{}x_0\) et \({\scriptstyle f'(c_x)\over\scriptstyle g'(c_x)}\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{}l\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0}{\scriptstyle f(x)\over\scriptstyle g(x)}}=l\).

  3. On vérifie que les fonctions \(f\) et \(g\) suivantes vérifient les hypothèses de la règle de l’Hospital sur un voisinage adéquat \(V\) de \(0\) puis on applique cette règle.

    1. On pose \(f:x\mapsto 1-\cos x\) et \(g:x\mapsto x^2\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\mathbb{R}\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=\sin x\), \(g'\left(x\right)=2x\) et pour \(x\neq 0\), \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{\sin x}{2x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{1}{2}\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}}=\dfrac{1}{2}}\).

    2. On pose \(f:x\mapsto x-\sin x\) et \(g:x\mapsto x^3\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\mathbb{R}\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=1-\cos x\), \(g'\left(x\right)=3x^2\) et pour \(x\neq 0\), \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}}{3x^2}=\dfrac{1}{6}\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}}=\dfrac{1}{6}}\).

    3. On pose \(f:x\mapsto \ln\left(1+x\right)-x\) et \(g:x\mapsto x^2\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\left]-1,+\infty\right[\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=-\dfrac{x}{1+x}\), \(g'\left(x\right)=2x\) et \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=-\dfrac{x}{2\left(1+x\right)x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}-\dfrac{1}{2}\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)-x}{x^2}}=-\dfrac{1}{2}}\).

    4. On pose \(f:x\mapsto 1-\cos x\) et \(g:x\mapsto \tan x\). Ces deux fonctions sont définies sur \(V=\mathbb{R}\). Pour \(x\in V\), on a : \(f'\left(x\right)=\sin x\), \(g'\left(x\right)=1+\tan^2 x\) et \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{\sin x}{1+\tan^2 x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(\boxed{\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\cos x\right)\mathop{\mathrm{cotan}}x}=0}\).

  4. Une généralisation de la proposition page  :

    1. On suppose que \(f\) est définie sur un voisinage \(V\) de \(x_0=0\). Introduisons les fonctions : \[f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right) \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^2 \end{array} \right. .\] Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(V\), ces deux fonctions vérifient les quatre premières hypothèses de la règle de l’Hospital. De plus, si \(x\in V\setminus\left\{x_0\right\}\) alors \[\dfrac{f_1'\left(x\right)}{f'_2\left(x\right)}=\dfrac{1}{2}\dfrac{f'\left(x\right)-f'\left(0\right)}{x}\xrightarrow[x \rightarrow 0]{}\dfrac{f''\left(0\right)}{2}\] car on reconnaît le taux d’acroissement de \(f'\) en \(0\). On en déduit, d’après la règle de l’Hospital, que \[\dfrac{f_1\left(x\right)}{f_2\left(x\right)}=\dfrac{f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right)}{x ^2} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\dfrac{f''\left(0\right)}{2}\] et comme \(f''\left(0\right)\neq 0\) alors \(f\left(x\right) -\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{f''\left(0\right)}{2}x^2\).

    2. On généralise ce résultat en considérant les fonctions : \[f_1: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)+\dfrac{x^2}{2}f''\left(0\right) +\dots+\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}f^{\left(n-1\right)}\left(0\right) \right) \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad f_2: \left\{ \begin{array}{ccl} V & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right.\] et en effectuant un travail identique. On montre alors que : \[\boxed{f\left(x\right)-\left(f\left(0\right)+xf'\left(0\right)+\dfrac{x^2}{2}f''\left(0\right) +\dots+\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}f^{\left(n-1\right)}\left(0\right)\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}x^n.}\]


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