Soit \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \Pi_{k=1}^5 \left(x-k\right) \end{array} \right. .\]

  1. Sans calculer \(f'\), montrer que \(f'\) s’annule entre \(1\) et \(2\), entre \(2\) et \(3\), entre \(3\) et \(4\) et entre \(4\) et \(5\).

  2. En déduire que les seules racines de \(f'\) sont celles trouvées précédemment.

  3. Tracer le graphe de \(f\).


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[ID: 879] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 700
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:32
  1. La fonction \(f\) est dérivable (et donc continue) sur \(\left[1,2\right]\) car polynomiale. De plus \(f\left(1\right)=f\left(2\right)=0\). D’après le théorème de Rolle, \(f'\) s’annule entre \(1\) et \(2\). On fait de même sur les trois autres segments.

  2. Comme \(f\) est de degré \(5\), \(f'\) est de degré \(4\). Donc \(f'\) admet au plus \(4\) racines réelles. Les \(4\) racines trouvées dans la question précédente sont donc les seules racines de \(f'\). On note \(\alpha_i\) la racine de \(f'\) appartenant au segment \(\left]i,i+1\right[\).

  3. On en déduit facilement le tableau de variation suivant :

    On trace alors le graphe de \(f\) sans difficulté.


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