Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dérivable et telle que \(f'\) ne s’annule pas. Prouver que \(f\) ne peut être périodique.


Barre utilisateur

[ID: 875] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 363
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:32

Raisonnons par l’absurde. Supposons que \(f\) est périodique et notons \(T>0\) sa période. Soit \(a\in \mathbb{R}\) et \(b=a+T\). La fonction \(f\) est continue et dérivable sur \(\left[a,b\right]\). De plus \(f\left(b\right)=f\left(a+T\right)=f\left(a\right)\). On peut alors appliquer le théorème de Rolle à \(f\) sur le segment \(\left[a,b\right]\). On en déduit que \(f'\) s’annule en un point de \(\left[a,b\right]\) ce qui est en contradiction avec l’énoncé.


Documents à télécharger