Étudier la possibilité d’appliquer le théorème de Rolle aux intervalles et fonctions suivants:

  1. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} [-1,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt[3]{x^2} \end{array} \right.\)

  2. \(g: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,1/\pi] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left\{\begin{array}{l} x\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right) \textrm{ si } x \neq 0 \\ 0 \textrm{ si } x=0 \end{array}\right. \end{array} \right.\)


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[ID: 873] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:32] [Catégorie(s): Théorème de Rolle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 390
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:32
  1. La fonction \(f\) est continue sur \(\left[-1,1\right]\) et \(f\left(-1\right)=f\left(1\right)\). Elle est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\setminus\left\{0\right\}\) par opération sur les fonctions dérivables. Par contre, \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). En effet, si \(x \in [-1,1] \setminus \left\{ 0 \right\}\) alors le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) est \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=x^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}}\] qui diverge quand \(x\rightarrow 0\). On ne peut donc appliquer le théorème de Rolle à \(f\).

  2. La fonction \(g\) est continue sur \(\left]0,1/\pi\right]\) par opérations sur les fonctions continues. On vérifie facilement grâce au théorème des gendarmes que \(g\) est aussi continue en \(0\). Elle est dérivable sur \(\left]0,\pi\right[\) et \(g\left(0\right)=g\left(1/\pi\right)=0\). On peut donc appliquer le théorème de Rolle à \(g\) : il existe \(c\in\left]0,\pi\right[\) tel que \(g'\left(c\right)=0\). On remarque que \(g\) n’est pas dérivable en \(0\).


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