Soit une fonction \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable. On suppose que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow \pm \infty]{} +\infty\). Montrer qu’il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(f'(c) = 0\).


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[ID: 870] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 556
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:29

Soit \(x_0 \in \mathbb{R}\). Comme \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow \pm \infty]{}+\infty\), il existe \(A > 0\) tel que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\lvert x \rvert > A \Rightarrow f(x) > f\left(x_0\right)\). En particulier, \(x_0 \in [-A, A]\). Sur le segment \([-A, A]\), la fonction \(f\) est continue et admet donc un minimum : il existe \(c \in [-A, A]\) tel que pour tout \(x \in [-A, A]\), \(f(x) \geqslant f(c)\). Mais si \(x \in \mathbb{R} \setminus [-A, A]\), on a \(f(x) \geqslant f(x_0) \geqslant f(c)\). Par conséquent, la fonction \(f\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}\) au point \(c\). On sait alors que \(f'(c) = 0\).


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