Soit une fonction \(f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) continue, non constante, dérivable à gauche et à droite en tout point. On suppose que \(f(0)=f(1)=0\). Montrer qu’il existe \(c \in ]0,1[\) tel que \(f'_d(c)f'_g(c)\leqslant 0\).


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[ID: 868] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 83
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:29

La fonction \(f\) est continue sur le segment \(\left[0,1\right]\) donc elle est bornée et atteint ses bornes sur ce segment. Les deux bornes de \(f\) ne peuvent être atteintes en les extrémités de \(\left[a,b\right]\) car comme \(f\left(0\right)=f\left(1\right)\), \(f\) serait constante ce qui est contraire aux hypothèses. Une des deux bornes est donc atteinte en un point \(c\) intérieur au segment \(\left[0,1\right]\). En ce point, les dérivées sont de signe contraire. En effet, supposons par exemple que \(c\) est un maximum alors, pour \(x\) dans un voisinage suffisamment petit à gauche de \(c\), on a \(\dfrac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\geqslant 0\) donc par passage à la limite dans une inégalité, \(f'_g\left(x\right)\geqslant 0\). De même, pour \(x\) dans un voisinage suffisamment petit à droite de \(c\), on a \(\dfrac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\leqslant 0\) et donc \(f'_d\left(x\right)\leqslant 0\). On en déduit le résultat. Si \(c\) est un minimum, on procède de manière analogue.


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