Soit une fonction \(f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}\) dérivable sur \([0,1]\). On suppose que \(f(0)=0\) et que \(f(1)f'(1)<0\). Montrer qu’il existe \(c\in ]0,1[\) tel que \(f'(c)=0\).
( ).
Faire un dessin, et s’inspirer de la démonstration du théorème de Rolle.

Barre utilisateur

[ID: 866] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 957
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:29

\(f\) est continue sur le segment \([0,1]\). Elle est donc bornée et atteint ses bornes. Supposons par exemple que \(f(1)>0\) et \(f'(1)<0\). Soit \(M=f(c)\) le maximum de \(f\) sur \([0,1]\). Montrons que \(c\) est un point intérieur de \([0,1]\). On a \(c\neq 0\) car \(f(1)>0\). Si on suppose que \(c=1\), alors \(\forall x\in [0,1]\), \(f(x)\leqslant f(1)\) mais alors \(\dfrac{ f(x)-f(1)}{x-1} \geqslant 0\) et en passant à la limite dans les inégalités lorsque \(x\rightarrow 1\), on aurait \(f'(1)\geqslant 0\), ce qui est faux. Par conséquent, \(c\in ]0,1[\). Alors puisque \(f\) est dérivable au point \(c\) qui est un extrémum local intérieur, il vient que \(f'(c)=0\).


Documents à télécharger