Déterminer les extremum éventuels des fonctions \(f\) définies par les expressions suivantes :

  1. \(f:x\mapsto 1/x\)\(x\in\left[1,2\right]\).

  2. \(f:x\mapsto x^5\)\(x\in\mathbb{R}\).

  3. \(f:x\mapsto \left|x-1\right|\)\(x\in\mathbb{R}\).


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[ID: 864] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:29] [Catégorie(s): Recherche d'extrémums ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 823
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:29
  1. La fonction \(f\) est continue et décroissante sur \(\left[1,2\right]\). Elle atteint donc son minimum en \(x=2\) et son maximum en \(x=1\). Remarquons que \(f'\) ne s’annule pas sur \(\left[1,2\right]\).

  2. Une étude rapide des variations de \(f\) nous montre qu’elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et que \(\lim_{-\infty}f=-\infty\), \(\lim_{+\infty}f=+\infty\). Cette fonction n’admet donc pas d’extremum sur \(\mathbb{R}\). Remarquons que \(f'\left(0\right)=0\) mais \(0\) n’est pas un extremum de \(f\).

  3. On vérifie facilement que \(f\) admet un minimum en \(x=1\). Remarquons que \(f\) n’est pas dérivable en \(x=1\). Par contre \(f\) n’admet pas de maximum.


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