On considère un réel \(M > 0\) et une fonction \(g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) dérivable telle que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\lvert g'(x) \rvert \leqslant M\). Soit un réel \(\varepsilon> 0\). On définit la fonction \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) par \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = x + \varepsilon g\left(x\right)\).

  1. Trouver une condition suffisante sur \(\varepsilon\) pour que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) > 0\).

  2. Montrez que si cette condition est remplie, la fonction \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\).


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[ID: 862] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Applications de la dérivation ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 73
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:26
  1. Soit \(x \in \mathbb{R}\). On calcule \(f'(x) = 1 + \varepsilon g'(x) \geqslant 1 - \varepsilon M\). Par conséquent, si \(M < 1 / \varepsilon\), on est assuré que \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) > 0\).

  2. Dans ce cas, la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et d’après le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) vers \(J = f(\mathbb{R} )\). Montrons que \(J = \mathbb{R}\). Comme \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) \geqslant 1 - \varepsilon M\), en notant \(k = 1 - \varepsilon M > 0\), on a \([f - kx]' > 0\) et donc la fonction \(x \mapsto f(x) - kx\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). En particulier, pour \(x \geqslant 0\), on a \(f(x) \geqslant f(0) + kx\). Or \(f(0)+kx \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\) et d’après le théorème de majoration, on en déduit que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} +\infty\).

    De même, puisque \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) \leqslant 1 + \varepsilon M\), en notant \(k' = 1 + \varepsilon M > 0\), on trouve que \(\forall x \leqslant 0\), \(f(x) \leqslant f(0) + k'x\). Mais puisque \(f(0) + k'x \xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} -\infty\), il vient que \(f(x) \xrightarrow[x \rightarrow -\infty]{} -\infty\). Donc \(J = ]-\infty, +\infty[\).


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