Soit la fonction \(f:\mathbb{R}^{*}\mapsto \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\).

  1. Montrez que la fonction \(f\) se prolonge par continuité sur \(\mathbb{R}\) en une fonction \(g\).

  2. Etudiez la parité de la fonction \(g\).

  3. Etudiez les variations de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) et déterminez la limite \(\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)\).

  4. On admet que \(g'(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\). Qu’en déduit-on sur la dérivabilité de \(g\) en \(0\) ? Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\).

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[ID: 860] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Applications de la dérivation ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron ]




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Exercice 829
Par Alain Soyeur François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron le 18 janvier 2021 15:26

  1. Remarquons d’abord que pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=\lvert x \rvert\) et que par conséquent, \(x+\sqrt{x^2+1}>x+\lvert x \rvert >0\). Donc la fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^{*}\). Pour \(x\neq 0\), écrivons \(f\) sous forme exponentielle : \[f(x)=e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}\] Mais alors, lorsque \(x\rightarrow 0\), \[\ln(x+\sqrt{x^2+1})=\ln(1+(x+\sqrt{1+x^2}-1)) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} (x+\sqrt{1+x^2}-1) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} x\] Donc \(f(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} e\). On peut prolonger la fonction \(f\) par continuité en \(0\) en posant \[g:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} f(x) & \textrm{ si } x\neq 0 \\ e & \textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\]

  2. Soit un réel \(x>0\). En utilisant les quantités conjuguées, \[f(-x)=e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\ln\left( \sqrt{x^2+1}-x\right)} =e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\ln\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)}=f(x)\] La fonction \(g\) est donc paire et on l’étudiera sur \([0,+\infty[\).

  3. On calcule pour \(x\neq 0\) : \[f'(x) = \dfrac{f(x)}{x^2(\sqrt{x^2+1})} \left(x -\sqrt {{x}^{2}+1}\ln (x+\sqrt {{x}^{2}+1}) \right)\] Il faut donc étudier le signe de \[a(x)= x-\sqrt{x^2+1}\ln(x+\sqrt{x^2+1})\] Mais \(a'(x)=-{{\scriptstyle\ln \left(x+\sqrt {{x}^{2}+1}\right)x\over\scriptstyle\sqrt {{x}^{2}+1}}}\). Comme \(x>0\), \(\sqrt{x^2+1}+x \geqslant 1\) et le logarithme est positif. Donc \(a'<0\) sur \(]0,+\infty[\) et puisque \(a(0)=0\), il vient que \(a<0\) sur \(]0,+\infty[\). Par conséquent, \(g\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\). Par ailleurs : \[g\left(x\right)=e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) } = e^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\left( \ln x + \ln \left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\right) \right)} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}e^0=1\] car \(\ln x /x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\) et \(\ln \left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\).

  4. Si \(g'(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 0\) alors d’après le théorème du prolongement dérivable, \(g\) est dérivable en \(0\) et \(g'\left(0\right)=0\). On en déduit le graphe de \(g\) :

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