Soit \[f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},\pi\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin x} \end{array} \right. .\]

  1. Vérifier que \(f\) réalise une bijection de \(\left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},\pi\right[\) sur \(\left[1,+\infty\right[\).

  2. Sans calculer \(f^{-1}\), déterminer son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée.


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[ID: 858] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Applications de la dérivation ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 831
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:26
  1. La fonction \(\sin:\left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},\pi\right[\rightarrow \left]0,1\right]\) est strictement décroissante et la fonction \(x\mapsto 1/x\) est strictement décroissante sur \(\left]0,1\right]\). Donc par utilisation de la règle des signes pour la composition des fonctions, \(f\) est strictement croissante sur \(\left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},\pi\right[\). On en déduit que \(f\) réalise une bijection de \(I=\left]0,1\right]\) sur \(J=f\left(I\right)\). Par opération sur les fonctions continues, \(f\) est continue sur \(I\) et donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(J\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\). Comme \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow \pi^-]{}+\infty\) et que \(f\left(\pi/2\right)=1\), on en déduit que \(J=\left[1,+\infty\right[\).

  2. \(f\) est dérivable sur \(I\) comme quotient de fonctions dérivables sur \(I\). De plus si \(x\in I\), \(f'\left(x\right)=-\cos x/\sin^2 x\). On remarque que \(f'\) ne s’annule qu’en \(\pi/2\). Donc \(f^{-1}\) est dérivable sur \(\left]1,+\infty\right[\). De plus, pour tout \(y\in\left]1,+\infty\right[\) : \[{f^{-1}}'\left(y\right)=\dfrac{1}{f'\left(f^{-1}\left(y\right)\right)}=-\dfrac{\sin^2 f^{-1}\left(y\right)}{\cos f^{-1}\left(y\right) }.\] Mais comme \(f^{-1}\left(y\right)\xrightarrow[y\rightarrow 1^+]{}\pi/2^+\), on en déduit que \({f^{-1}}'\left(y\right)\xrightarrow[y\rightarrow 1^+]{}-\infty\) et donc \(f^{-1}\) est, d’après le théorème du prolongement dérivable, non dérivable en \(1\). En conclusion \(f^{-1}\) est dérivable sur \(\left]1,+\infty\right[\).


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