Soit \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{\sin x} + x \end{array} \right.\).

  1. Démontrer que \(f\) réalise une bijection vers un intervalle qu’on précisera.

  2. Prouver que \(f^{-1}\) est continue et dérivable sur cet intervalle.


Barre utilisateur

[ID: 856] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Applications de la dérivation ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 39
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:26
  1. La fonction \(f\) est bien définie et strictement croissante sur \(I=[0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\). Elle réalise donc une bijection de \(I\) sur \(J=f\left(I\right)\). Mais par opération sur les fonctions continues, \(f\) est continue sur \(I\) donc \(J\) est un segment de \(\mathbb{R}\). Comme \(f(0)=0\), \(f\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right)=1+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\) et que \(f\) est croissante, il vient que \(J=\left[0,1+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\). En conclusion, \(f\) réalise une bijection de \([0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\) sur \([0,1+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\).

  2. Comme \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\), \(f^{-1}\) est continue et strictement croissante sur \(J\). De plus \(f\) est dérivable sur \(]0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\) et \(f'(x)={\scriptstyle\cos x\over\scriptstyle 2\sqrt{\sin x}}+1>0\). Donc \(f^{-1}\) est dérivable sur \(]0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}]\). Étudions la dérivabilité de \(f\) en \(0\). Considérons \(h\in \left]0,1+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\) et posons \(x=f^{-1}\left(h\right)\in\left]0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\). Remarquons que \(x=f^{-1}\left(h\right) \xrightarrow[h\rightarrow 0]{}0\). On a : \[\dfrac{f^{-1}\left(h\right)- f^{-1}\left(0\right)}{h}=\dfrac{x}{f(x)} = \dfrac{x}{\sqrt{\sin x}+x}=\dfrac{1}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt x}\sqrt{{\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}}+1} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\] car \(\dfrac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\). Donc \(f^{-1}\) est aussi dérivable en \(0\) et \(f'(0)=0\). En conclusion \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\).


Documents à télécharger