Soit \(f:[0,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que \(f(0)=-1\) et \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)}=+\infty\). Montrer que si \(f\) s’annule au moins deux fois alors il en est de même de \(f'\).


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[ID: 854] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Applications de la dérivation ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 276
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:26

Si \(f'\) ne s’annule pas alors \(f\) est strictement croissante et donc injective. Elle ne peut s’annuler alors au plus qu’une fois. Si \(f'\) ne s’annule qu’une fois, en un réel noté \(\alpha\), alors on en déduit que le tableau de variation de \(f\) est un des deux suivants :

Dans les deux cas, on remarque que \(f\) ne peut s’annuler qu’une fois. Par conséquent \(f'\) s’annule au moins deux fois.


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