On considère la fonction \(f : ]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^{n-1} \ln x\)\(n \in \mathbb{N}^{\star}\). Calculez \(f^{(n)}\)


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[ID: 848] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:21] [Catégorie(s): Dérivées d'ordre $n$, formule de Leibniz ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 468
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:21

La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur l’intervalle \(]0, +\infty|\) comme produit de fonctions \(\mathcal{C}^{\infty}\). Notons \(g\) la fonction définie par \(g(x) = x^{n-1}\) et \(h\) la fonction définie par \(h(x) = \ln(x)\). D’après la formule de Leibniz, pour \(x > 0\), \[f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} g^{(k)}(x) h^{(n-k)}(x)\] Mais on montre facilement que pour \(k \leqslant n-1\), \[g^{(k)}(x) = \dfrac{(n-1)!}{(n-k-1)!} x^{n-1-k}\] et que \(g^{(n)}=0\), puis que \(\forall k \geqslant 1\), \[h^{(k)}(x) = (-1)^{k-1}\dfrac{(k-1)!}{x^k}\] Donc \[\begin{aligned} f^{(n)}(x) &= \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} \dfrac{(n-1)!}{(n-k-1)!} x^{n-1-k}(-1)^{n-k-1}\dfrac{(n-k-1)!}{x^{n-k}}\\ &= \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}(-1)^k \\ &= \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x}\bigl[ (1-1)^n - (-1)^n\bigr] \\ &= \boxed{\dfrac{(n-1)!}{x}} \end{aligned}\]


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