Déterminer la dérivée \(n^{\textrm{ ème}}\) de la fonction \[f(x) = x^2 (1-x)^n\]
( ).
Écrire \((1-x)^n=(-1)^n(x-1)^n\) pour calculer les dérivées successives: cela évite les problèmes de signe!

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[ID: 846] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:21] [Catégorie(s): Dérivées d'ordre $n$, formule de Leibniz ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 639
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:21

Utilisons la formule de Leibniz: \[f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \left[x^2\right]^{(k)}\left[(1-x)^n\right]^{(n-k)}\] Et puisque les dérivées de \(x^2\) sont nulles pour \(k\geqslant 3\), il ne reste que \(3\) termes dans cette somme: \[f^{(n)}(x)=x^2[(1-x)^n]^{(n)}+2nx[(1-x)^n]^{(n-1)}+n(n-1)[(1-x)^n]^{(n-2)}\] Ensuite, en remarquant que \((1-x)^n=(-1)^n(x-1)^n\), on calcule les dérivées de \((x-1)^n\): \[[(x-1)^n]^{(p)}=\dfrac{n!}{(n-p)!}(x-1)^{n-p}\] et alors \[f^{(n)}(x)=n!x^2(-1)^n + 2nx(-1)^nn!(x-1)+n(n-1)(-1)^n\dfrac{n!}{2}(x-1)^2\] et après factorisation et simplification, on trouve que \[\boxed{ f^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{n!}{2}\left[ (n+1)(n+2)x^2 -2n(n+1)x+n(n-1)\right]}.\] On remarque que \(f\) étant un polynôme de degré \((n+2)\), sa dérivée \(n\)-ième est bien un polynôme de degré \(2\).


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