Soit \[f:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x\sin\left( \dfrac{e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}{x}\right) & \textrm{ si } x\neq 0\\ 0 & \textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\] Est-ce que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\), \(\mathcal{C}^{2}\) sur \([0,1]\) ?


Barre utilisateur

[ID: 842] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:21] [Catégorie(s): Dérivées d'ordre $n$, formule de Leibniz ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 812
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:21

La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\left]0,1\right]\) par opération sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\). Étudions la dérivabilité en \(0\). Soit \(x\in\left]0,1\right]\). Le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) est \[\Delta_f\left(x\right)= \dfrac{x\sin\left( \dfrac{e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}{x}\right)}{x}=\sin\left( \dfrac{e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}{x}\right) \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\] car \(\dfrac{e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}{x}\xlongequal{X=1/x}Xe^{-X}\xrightarrow[X\rightarrow +\infty]{}0\). Donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\). Par ailleurs, toujours pour \(x\in\left]0,1\right]\) : \[f'\left(x\right)= \dfrac{1}{x^2}\left(x^2\sin\left(\dfrac{e^{-1/x}}{x} \right) + \left(1-x\right)e^{-1/x}\cos \left(\dfrac{e^{-1/x}}{x} \right) \right)\] et il vient facilement que \(f'\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\), \(f'\) est aussi continue en \(0\). Calculons \(f''\). On a : \[f''\left(x\right)= -\dfrac{e^{-1/x}}{x^2}\left(1-x \right)\sin\left(\dfrac{e^{-1/x}}{x} \right) +\dfrac{e^{-1/x}}{x^4}\left(-2x +1 \right) \cos \left(\dfrac{e^{-1/x}}{x} \right) \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\] donc \(f'\) est dérivable à droite en \(0\) d’après le théorème du prolongement dérivable et \(f''\) est continue en \(0\). En conclusion \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\left[0,1\right]\).


Documents à télécharger