Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} \left(x^x\right)^x &\textrm{ si } x> 0\\ 1 &\textrm{ si } x\leqslant 0\end{cases}\]

  1. Vérifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'\).

  2. La fonction \(f\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\)?

  3. La fonction \(f\) est-elle deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\)?


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[ID: 840] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:21] [Catégorie(s): Dérivées d'ordre $n$, formule de Leibniz ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 503
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:21
  1. Pour tout \(x\in \mathbb{R}_+^*\), \(f\left(x\right)=e^{x^2\ln x}\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. \(f\) est par ailleurs clairement dérivable sur \(\mathbb{R}_-^*\). Étudions la dérivabilité de \(f\) en \(0\). Si \(x\in\mathbb{R}_+^*\) : \(\Delta\left(x\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}= \dfrac{e^{x^2\ln x} - 1}{x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} x\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) car \(x^2\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\). Donc \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et \(f'_d\left(0\right)=0\). Il est clair que \(f\) est dérivable à gauche en \(0\) et que \(f'_g\left(0\right)=0\). \(f\) est donc dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\). En résumé, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

  2. La fonction \(f'\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions continues. De plus, si \(x\in\mathbb{R}_+^*\)  : \(f'\left(x\right) = \left(2x\ln x + x\right)e^{x^2 \ln x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) par opérations sur les limites. Il est par ailleurs clair que si \(x\in\mathbb{R}_-^*\), \(f'\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{}0\). \(f'\) est donc continue sur \(\mathbb{R}\) et \(f\in\mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}\right)\).

  3. \(f'\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. En \(0^+\) : \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{f'\left(x\right)-f'\left(0\right)}{x-0}= \dfrac{\left(2x\ln x + x\right)e^{x^2 \ln x}}{x} = \left(2\ln x + 1\right)e^{x^2 \ln x} \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-\infty\] par opérations sur les limites et car \(x^2 \ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\). \(f\) n’est donc pas deux fois dérivable en \(0\).


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