Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f\left(x\right)=\begin{cases} x^2 \ln\left(x^2\right) &\textrm{ si } x\neq 0\\ 0 &\textrm{ si } x=0\end{cases}\]

  1. Vérifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'\).

  2. La fonction \(f\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\)?

  3. La fonction \(f\) est-elle deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\)?


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[ID: 838] [Date de publication: 18 janvier 2021 15:21] [Catégorie(s): Dérivées d'ordre $n$, formule de Leibniz ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1016
Par emmanuel le 18 janvier 2021 15:21
  1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme produit et composée de fonctions dérivables. De plus, si \(x\neq 0\), \(f'\left(x\right) =2x\left(\ln\left(x^2\right)+1\right)\). En \(x=0\), le taux d’accroissement de \(f\) est donné par : \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{x^2\ln \left(x^2\right)}{x}=x\ln x^2 \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\] donc \(f\) est aussi dérivable en \(0\) et \(f'\left(0\right)=0\).

  2. La fonction \(f'\) est clairement continue sur \(\mathbb{R}^*\). De plus \(f'\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\) car \(x\ln x^2 \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\) donc \(f'\) est aussi continue en \(0\). En conclusion, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

  3. Pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(f'\left(x\right) =2x\left(\ln\left(x^2\right)+1\right)\) donc \(f'\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions dérivables. Le taux d’accroissement de \(f'\) en \(0\) est donné par, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{2x\left(\ln\left(x^2\right)+1\right)}{x}=2\left(\ln\left(x^2\right)+1\right) \xrightarrow[ x \rightarrow 0 ]{} -\infty\] et donc \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\).


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