Soit \(I\) le centre du cercle inscrit au triangle \(ABC\). Les longueurs des côtés sont \(a = y+z\), \(b = z+x\) et \(c = x+y\). On appelle \(s\) le demi-périmètre \(x+y+z\). Les angles en \(I\) vérifient \(\alpha+\beta+\gamma = \pi\).

  1. Démontrer que \(r+ix = ue^{i\alpha}\).

  2. Calculer \((r+ix)(r+iy)(r+iz)\).

  3. En prenant les parties imaginaires, démontrer que \(xyz = r^2(x+y+z)\).

  4. En déduire que \(r = \sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\).

  5. Démontrer que l’aire du triangle \(ABC\) vaut
    \(\mathscr A = \dfrac{ra}{2} + \dfrac{rb}{2} + \dfrac{rc}{2} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) (Formule de Heron)


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[ID: 63] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

Solution(s)

Formule de Heron
Par emmanuel le 27 novembre 2020 16:53
  1. Dans le triangle \(AIH\) rectangle en \(H\), \(r = u\cos\alpha\) et \(x= u\sin\alpha\), d’où \(r+ix = u(\cos\alpha+i\sin\alpha) = ue^{i\alpha}\).

  2. \((r+ix)(r+iy)(r+iz) = ue^{i\alpha}ve^{i\beta}we^{i\gamma} = uvwe^{i(\alpha+\beta+\gamma)} = uvwe^{i\pi} = -uvw\).

  3. En prenant les parties imaginaires, on a \(0 = r^2z + r^2y + r^2x - xyz\), d’où le résultat.

  4. On en déduit \(r^2s = xyz\). Or \(s = x + (y+z) = x+a\) d’où \(x = s-a\). Donc \(xyz = (s-a)(s-b)(s-c)\) et donc \(r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}\), d’où le résultat.

  5. L’aire du triangle \(ABC\) égale l’aire de \(BIC\) + celle de \(CIA\) + celle de \(AIB\) à savoir \(\dfrac{ra}{2} + \dfrac{rb}{2} + \dfrac{rc}{2}\).

    Donc \(\mathscr A = \dfrac{ra}{2} + \dfrac{rb}{2} + \dfrac{rc}{2} = \dfrac r2 (a+b+c) = rs = s\sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\).


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