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[ID: 57] [Date de publication: 27 novembre 2020 16:53] [Catégorie(s): Application des nombres complexes à la géométrie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron ]

Solution(s)

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Exercice 686
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron le 27 novembre 2020 16:53

Soit \(z\in\mathbb{C}\setminus\left\{1\right\}\). Supposons que \(M\) est le point du plan complexe d’affixe \(z\), \(A\) est celui d’affixe \(1\) et \(B\) est celui d’affixe \(-1\). On a : \(MA=\left|z-1\right|\), \(MB=\left|z+1\right|\) et \(\left(\widehat{\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}}\right) = \arg{\left({\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}\right)}\).

1. Supposons que : \(\dfrac{z+1}{z-1}\in\mathbb{R}\). Alors soit ce quotient est nul, dans quel cas \(M=B\), soit \(\left(\widehat{\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}}\right) \equiv 0 ~ \left[\pi\right]\) et donc les points \(A,B, M\) sont alignés. La réciproque est évidente. Par conséquent : \(\left\{z\in\mathbb{C}~|~ {\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}\in\mathbb{R}\right\} = \boxed{\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}}\).

2. Supposons que : \({\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}\in i\mathbb{R}\). Alors : \(\left(\widehat{\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}}\right) \equiv {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} ~ \left[\pi\right]\). Le triangle \(MBC\) est donc rectangle en \(A\) et d’après le théorème de la médiane, \(M\) est un point de cercle de diamètre \(\left[A,B\right]\), c’est-à-dire un point du cercle unité différent de \(A\). La réciproque est immédiate. Donc : \(\left\{z\in\mathbb{C}~|~{\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}\in i\mathbb{R} \right\}=\boxed{\mathbb U\setminus\left\{1\right\}}\).

3. Supposons enfin que :\(\left|{\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}\right|=1\). Alors : \(\left|z-1\right|=\left|z+1\right|\) , ce qui s’écrit aussi : \(AM=BM\). Donc \(M\) est un point de la médiatrice du segment \(\left[A,B\right]\) qui est l’axe imaginaire. Par conséquent : \(z\in i\mathbb{R}\). La réciproque est triviale et \(\left\{z\in\mathbb{C}~|~\left|{\scriptstyle z+1\over\scriptstyle z-1}\right|=1\right\}=\boxed{i\mathbb{R}}\).